Question

【題目】如圖已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分別為棱BC，AD的中點．

（1）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值．
（2）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值為 ，求四棱錐P﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：E，F分別為棱BC，AD的中點，ABCD是邊長為2的正方形

∴DF∥BE且DF=BE

∴DFBE為平行四邊形

∴DE∥BF

∴∠PBF是PB與DE的所成角

△PBF中，BF= ，PF=， ，PB=3，

∴cos∠PBF= ，

∴異面直線PB和DE所成角的余弦值為 ；

（2）解：如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．設PD=a，

可得如下點的坐標：

P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）

則有： =（1，0，﹣a）， =（1，2，0）

因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為 =（0，0，1）

設平面PFB的一個法向量為 =（x，y，z），則可得 ，令x=1，得z= ，y=﹣ ，

所以 =（1，﹣ ， ）

由已知，二面角P﹣BF﹣C的余弦值為 ，所以得 = ，解得a=2．

因為PD是四棱錐P﹣ABCD的高，

所以其體積為VP﹣ABCD= ×2×4= ．

【解析】（1）根據一對對邊平行且相等，得到一個四邊形是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行，把兩條異面直線所成的角表示出來，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．（2）以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設出線段的長，根據條件中所給的兩個平面的二面角的值，求出設出的a的值，再求出四棱錐的體積．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．