Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，其中 M ，N 分別是 AF、BC 的中點

（1）求證：MN∥平面CDEF；

（2）求多面體A-CDEF的體積．

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且底面是一個直角三角形，由三視圖中所標數據易計算出三棱柱中各棱長的值．

（1）取BF的中點G，連接MG、NG，利用中位線的性質結合線面平行的充要條件，易證明結論

（2）多面體A-CDEF的體積是一個四棱錐，由三視圖易求出棱錐的底面面積和高，進而得到棱錐的體積．

試題解析：解（1）證明：由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，

，連結BE，M在BE上，連結CE

EM=BM，CN=BN，所以∥，所以平面

（2）取DE的中點H．

∵AD=AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE-BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．

∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=．

S矩形CDEF=DE•EF=，

∴棱錐A-CDEF的體積為．

考點：1．簡單空間圖形的三視圖；2．棱柱、棱錐、棱臺的體積；3．直線與平面平行的判定．