Question

在R上定義運算?：p?q=-

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（p-c）（q-b）+4bc（b、c為實常數）．記f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（Ⅰ）如果函數f（x）在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
（Ⅲ）記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M．若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由定義求出f（x）和導數．（1）由題意得，f（1）=-

4

3

且f′（1）=0，解出b，c 并檢驗即可；
（2）因為切線的斜率為c，則解出f′（t）=c時t的值得到切點坐標，寫出切線方程與曲線解析式聯立求出公共點可知公共點的個數；
（3）根據題意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可．

解答： 解：（I）依題意：已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
得f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+bc，
解

f(1)= 4 3 f′(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=1 c=3

．
若得

b=1 c=-1

，
f（x）=

1

3

x³+x²-x-1，
f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）在R上單調遞減，在x=1處無極值；
若

b=1 c=3

，f（x）=

1

3

x³-x²+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接討論知，
f（x）在x=1處有極大值，所以

b=1 c=3

即為所求；
（Ⅱ）f′（t）=c得t=0或t=2b，切點分別為（0，bc）、（2b，3bc+

4

3

b³），
相應的切線為y=cx+bc或y=cx+bc+

4

3

b³．
解cx+bc=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
得x=0或x=3b；
解cx+bc+

4

3

b³=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
綜合可知，b=0時，斜率為c的切線只有一條，與曲線的公共點只有（0，0），b≠0時，
斜率為c的切線有兩條，與曲線的公共點分別為（0，bc）、（3b，4bc）和（2b，

4

3

b³+3bc）、（-b，

4

3

b³）
（Ⅲ）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．
若|b|＞1，則f′（x）在[-1，1]是單調函數，
因為|b|＞1，所以函數y=f′（x）的對稱軸x=b位于區間[-1，1]之外，
所以f′（x）在[-1，1]上的最值在兩端點處取得．
故M應是g（1）和g（-1）中較大的一個．
假設M≤2，則g（-1）=|-1-2b+c|≤2，
g（1）=|-1+2b+c|≤2，
將上述兩式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，導致矛盾，
所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f′（x）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．；
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）
則M=max{||f′（1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（1）-f′（b）|=

1

2

（b-1）²≥

1

2

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{||f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（-1）-f′（b）|=

1

2

（b+1）²≥

1

2

當b=0，c=

1

2

時，g（x）=|f′（x）|=|-x²+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范圍是（-∞，

1

2

]．k的最大值為

1

2

．

點評：本題考查函數的導數的綜合運用：求單調區間和求極值，考查不等式有解轉化為求函數的最值及參數分離法，構造函數求最值，是解題的關鍵，屬于難題