Question

設f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx的定義域為

 

；單調區(qū)間為

 

，其圖象的對稱軸方程為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用

分析：運用二倍角的余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由分母不為0，可得定義域，運用正弦函數(shù)的單調區(qū)間，解不等式即可得到所求單調區(qū)間，再由正弦函數(shù)的對稱軸方程，即可得到所求方程．

解答： 解：f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx
=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx=cosx-sinx+2sinx
=cosx+sinx=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
由cosx+sinx≠0，即有tanx≠-1，
解得，x≠kπ-

π

4

，k∈Z，
由2kπ-

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，k∈Z，可得，
2kπ-

3π

4

＜x＜2kπ+

π

4

；
由2kπ+

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

，可得，
2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

．
由x+

π

4

=kπ+

π

2

，可得，x=kπ+

π

4

，k∈Z，
則定義域為{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}，
增區(qū)間為（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z
減區(qū)間為（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

），（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

），k∈Z；
對稱軸方程為x=kπ+

π

4

，k∈Z．
故答案為：{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}；（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z，（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

），（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

），k∈Z；x=kπ+

π

4

，k∈Z．

點評：本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的單調區(qū)間，及對稱軸方程，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．