Question

13．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為 120°，且$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$．若平面向量 $\overrightarrow m$滿足$\overrightarrow m•\overrightarrow a=\overrightarrow m•\overrightarrow b=1$，則$|{\overrightarrow m}|$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知畫出圖形，然后利用坐標法求解．

解答 解：如圖，

設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，
則A（1，0），B（-1，$\sqrt{3}$），
再設$\overrightarrow{m}=（x，y）$，
由$\overrightarrow m•\overrightarrow a=\overrightarrow m•\overrightarrow b=1$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{-x+\sqrt{3}y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了數量積的坐標運算，建系起到事半功倍的效果，是中檔題．