Question

正項數列{a_n}中，a₁=4，a_n+a_n²=2（a_n+1）a_n-1（n≥2），則它的前10項之和S₁₀=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列遞推式得（a_n+1）（a_n-2a_n-1）=0，結合a_n＞0，得到a_n-2a_n-1=0，即a_n=2a_n-1（n≥2）．可得
數列{a_n}是以4為首項，以2為公比的等比數列，代入等比數列的前n項和求得答案．

解答： 解：由a_n+a_n²=2（a_n+1）a_n-1，得a_n（1+a_n）-2（a_n+1）a_n-1=0，
（a_n+1）（a_n-2a_n-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1≠0，
則a_n-2a_n-1=0，a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴數列{a_n}是以4為首項，以2為公比的等比數列，
則S10=

4(1-210)

1-2

=4092．
故答案為：4092．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，考查了等比數列的前n項和，是中檔題．