Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，（ω＞0）且函數f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數y=f（

x

2

+

π

3

），x∈(

π

2

，3π)的圖象與直線y=a的交點的橫坐標成等比數列，試求實數a的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）由已知根據平面向量數量積的運算，化簡可求ω的值，從而可求f（x）的表達式．
（2）先求得函數y的解析式，設函數的圖象與y=a的圖象有三個交點的橫坐標為：（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π．結合圖象的對稱性有

x22=x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，從而求得a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

=（

3

cosωx+sinωxx，sinωx）•（sinω，0）
=

3

sinωxcosωxx+sin²ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．（4分）
由題意可知其周期為π，
∴

2π

2ω

=π，
故ω=1，
則f（x）=sin（2x-

π

6

），
（2）y=f（

x

2

+

π

3

）=sin[2（

x

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（x+

π

2

）=cosx，
設函數y=cosx（x∈（

π

2

，3π））的圖象與y=a的圖象有三個交點的橫坐標為：
（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π．
則由已知，結合圖象的對稱性有

x22=x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的對稱性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，綜合性較強，屬于中檔題．