Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，a₆=18．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）當n為何值時，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差是d，有等差數列的通項公式和題意求出d，再求出a_n；
（Ⅱ）先（Ⅰ）求出a₁，代入sn=

n(a1+an)

2

化簡即可；
（Ⅲ）根據S_n和n的取值范圍，利用二次函數的性質，求出S_n的最大值及n的值．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差是d，
因為a₃=24，a₆=18，所以d=

a6-a3

6-3

=-2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=30-2n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a₁=28，
所以sn=

n(a1+an)

2

=

n(28+30-2n)

2

=-n2+29n…（9分）
（Ⅲ）因為sn=-n2+29n，所以對稱軸是n=

29

2

，
則n=14或15時，s_n最大，
所以s_n的最大值為s14=-(14)2+29×14=210…（12分）

點評：本題考查等差數列的通項公式、前n項和公式，以及利用二次函數的性質求出前n項和S_n的最值問題．