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如圖長度為2的線段AB夾在直二面角的兩個半面內,,且AB與平面所成的角都是30°,AC⊥l,垂足為C,BD⊥l,垂足為D。

   (1)求直線AB與CD所成角的大小;

   (2)求二面角C―AB―D的平面角的余弦值。

解法一:

(1)由于且AC⊥l,則AC⊥,以C

為原點,建立如圖所示的直角坐標系。

因為AB=2,

AB與平面所成的角都是30°,且AC⊥l于C,

BD⊥l于D,則AC=1,BD=1。AD=

所以A(0,0,1)、M(1,-,0)、C(0,0,0)、

D(0,-,0)(2分)

 

 

故直線AB與CD所成角為45°。

(2)設平面ABC的一個法向量

 

設平面ABD的一個法向量為

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為 

解法二:

(1)在平面內過點B作BE//DC,BE=DC,連結CE,EA,BC,AD,則四邊形BECD是矩形。

所以∠ABE就是直線AB與CD所成角。

∵AB=2,,AC⊥l,AC

∴AC⊥

∴∠ABC=30°。

∴AC=1,同理BD=1。

∴CE=1,AE=

∵CE⊥BE,

∴AE⊥BE。

在Rt△AEB中,sin∠ABE= 

∴∠ABE=45°.

∴直線AB與CD所成角的大小為45°

(2)∵AC⊥,AC平面ABC。

∴平面BAC⊥平面BDC,且交線是BC,

過點D作DF⊥BC,垂足為F,則DF⊥平面BAC,

過F作FG⊥AB,垂足為G,連結DG,則DG⊥AB,

故∠DGF就是二面角C―AB―D的平面角。 

在Rt △ACB中,BC=

在Rt △BDC中,DC=

在Rt△BGF中,FG=BF

在Rt△DFG中,DG

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為 

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