Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a（a＞2），長度為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，得到一個(gè)直角三角形△NMD，P為斜邊MN的中點(diǎn)，所以|PD|的長度不變，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是球面的一部分，求出球的半徑，代入球的體積公式計(jì)算．

解答：解：如圖可得，端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，連接N點(diǎn)與D點(diǎn)，
由ND，DM，MN構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
設(shè)P為MN的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半可得
不論△MDN如何變化，P點(diǎn)到D點(diǎn)的距離始終等于1．
故P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以D為中心，半徑為1的球的

1

8

．
其體積V=

1

8

×

4

3

×π×1³=

π

6

．
故答案是

π

6

．

點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是，根據(jù)P點(diǎn)滿足的條件，判斷幾何體為球體的

1

8

．