【題目】一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，設棋子跳到第n站的概率為
，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數點，棋子向前跳一站；若擲出偶數點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標有點數1，2，3，4，5，6)．
(1)求
，
，
，并根據棋子跳到第n站的情況，試用
和
表示；
(2)求證：
為等比數列；
(3)求玩該游戲獲勝的概率．
【答案】（1）
，
，
，
；（2）證明見解析；（3）
.
【解析】
(1) 在第0站是必然事件，所以．棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現奇數點,可求出
，棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子岀現偶數點，②前兩次擲骰子出現奇數點，可求出
.棋子跳到第
站，包括兩種情形，①棋子先跳到第
站，又擲骰子出現偶數點, ②棋子先跳到第
站，又擲骰子出現奇數點,進行求解.
(2) 由(1)知，，所以
可證.
(3) 該游戲獲勝的概率,即求
，由（2）用累加法可求解.
(1)棋子開始在第0站是必然事件，所以．
棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現奇數點，其概率為
，所以．
棋子跳到第2站，包括兩種情形，①第一次擲骰子岀現偶數點，其概率為；②前兩次擲骰子出現奇數點，其概率為
，所以
．
棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又擲骰子出現偶數點，其概率為
；②棋子先跳到第站，又擲骰子出現奇數點，其概率為
．
故．
(2)由(1)知，，所以．
又因為
，
所以
是首項為
，公比為的等比數列．
(3)由(2)知，
．
所以
．
所以玩該游戲獲勝的概率為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某地區某種昆蟲產卵數和溫度有關.現收集了一只該品種昆蟲的產卵數
（個）和溫度
（
）的7組觀測數據，其散點圖如所示：
根據散點圖，結合函數知識，可以發現產卵數和溫度可用方程
來擬合，令
，結合樣本數據可知
與溫度可用線性回歸方程來擬合．根據收集到的數據，計算得到如下值：
|
|
|
|
|
|
27 | 74 |
| 182 |
|
|
表中
，
．
（1）求和溫度的回歸方程（回歸系數結果精確到
）；
（2）求產卵數關于溫度的回歸方程；若該地區一段時間內的氣溫在
之間（包括
與
），估計該品種一只昆蟲的產卵數的范圍.（參考數據：
，
，
，
，
．）
附：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形
中，
為
的中點，將
沿直線
翻折成
，連結
，
為的中點，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是（ ）
A.存在某個位置，使得
B.翻折過程中，
的長是定值
C.若
，則
D.若
，當三棱錐
的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
分別為雙曲線
的左、右焦點，點P是以
為直徑的圓與C在第一象限內的交點，若線段
的中點Q在C的漸近線上，則C的兩條漸近線方程為__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，四棱錐
中，底面
為平行四邊形，
，
，
底面．
(1)求證：
平面
．試判斷四面體
是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結論)；若不是，說明理由；
(2)若
，求點A到平面
的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“移動支付、高鐵、網購、共享單車”被稱為中國的“新四大發明”.為了幫助50歲以上的中老年人更快地適應“移動支付”,某機構通過網絡組織50歲以上的中老年人學習移動支付相關知識.學習結束后,每人都進行限時答卷,得分都在
內.在這些答卷(有大量答卷)中,隨機抽出
份,統計得分繪出頻率分布直方圖如圖.
(1)求出圖中
的值,并求樣本中,答卷成績在
上的人數;
(2)以樣本的頻率為概率,從參加這次答卷的人群中,隨機抽取
名,記成績在
分以上(含分)的人數為
,求的分布列和期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，函數
，
，其中
為常數，且
，令函數
為函數
和
的積函數.
（1）求函數的表達式，并求其定義域；
（2）當
時，求函數的值域
（3）是否存在自然數，使得函數的值域恰好為
？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數所構成的集合；若不存在，試說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著科學技術的飛速發展，網絡也已經逐漸融入了人們的日常生活，網購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優勢而深受廣大消費者認可.某網購公司統計了近五年在本公司網購的人數，得到如下的相關數據(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數)：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
（1）試根據表中的數據，求出y關于x的線性回歸方程，并預測到哪一年該公司的網購人數能超過300萬人；
（2）該公司為了吸引網購者，特別推出“玩網絡游戲，送免費購物券”活動，網購者可根據拋擲骰子的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進. 若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網購者可獲得免費購物券200元. 已知骰子出現奇數與偶數的概率都是
，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數，遙控車向前移動一格（從
到
）若擲出偶數遙控車向前移動兩格（從到
），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第
格的概率為
，試證明
是等比數列，并求網購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.
附：在線性回歸方程
中，
.
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