Question

【題目】已知函數.

(1)若，試判斷函數的零點個數；

(2)若函數在上為增函數，求整數的最大值，(可能要用的數據: ； ).

Answer 1

【答案】（1）1個；（2）6

【解析】試題分析：(Ⅰ)根據導數求解函數的單調性，利用零點的存在定理，即可判定函數在上的零點的個數.

(Ⅱ)由題意，把在上恒成立， 在上恒成立，進而轉化為

在上恒成立，令，即，利用導數求解函數的單調性和最小值，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

(1)因為，易知在上為增函數，則，

故在上為增函數，又， ，

所以函數在上的零點有且只有1個.

(2)因為，由題意在上恒成立，

因為顯然成立，故只需在上恒成立，

令，則

因為

由(1)可知: 在上為增函數，故在上有唯一零點記為， ， ，

則， ，

則在為減函數，

在為增函數，

故時， 有最小值.

令，則最小值有 ，

因，則的最小值大約在之間，故整數的最大值為6.