Question

【題目】已知圓：．

（Ⅰ）求過點的圓的切線方程；

（Ⅱ）設圓與軸相交于，兩點，點為圓上異于，的任意一點，直線，分別與直線交于，兩點．

（�。┊旤c的坐標為時，求以為直徑的圓的圓心坐標及半徑；

（ⅱ）當點在圓上運動時，以為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）（�。﹫A心為，半徑；（ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先判斷在圓外， 所以圓過點的切線有兩條．再由斜率是否存在分別討論．（Ⅱ）（ⅰ）設直線PA和PB把其與直線交于，兩點表示出來，寫出圓的方程化簡即可．（ⅱ）先求出以為直徑的圓被軸截得的弦長，在設出PA和PB的直線方程，分別求出與直線的交點，求出圓心，再根據勾股定理易求解．

（Ⅰ）因為點在圓外， 所以圓過點的切線有兩條．

當直線的斜率不存在時，直線方程為，滿足條件．

當直線的斜率存在時，可設為，即．

由圓心到切線的距離，解得． 此時切線方程為．

綜上，圓的切線方程為或．

（Ⅱ）因為圓與軸相交于，兩點，所以，．

（�。┊旤c坐標為時，直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點坐標為 ，

同理直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點坐標為． 所以以為直徑的圓的圓心為，半徑．

（ⅱ）以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．

設點，則．

直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點坐標為．

同理直線的斜率為，直線的方程為．

直線與直線的交點坐標為．

所以圓的圓心，半徑為．

方法一：圓被軸截得的弦長為

．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．

方法二：圓的方程為．

令，解得．

所以．

所以圓與軸的交點坐標分別為，．

所以以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值．