Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，單位圓上存在兩點，滿足均與軸垂直，設與的面積之和記為．

若，求的值；

若對任意的，存在，使得成立，且實數使得數列為遞增數列，其中求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）運用三角形的面積公式和三角函數的和差公式，以及特殊角的函數值，可得所求角；

（2）由正弦函數的值域可得的最大值，再由基本不等式可得的最大值，可得的范圍，再由數列的單調性，討論的范圍，即可得到的取值范圍．

依題意，可得

，

由，得，

又，所以．

由得

因為，所以，所以，

當時，，

（當且僅當時，等號成立）

又因為對任意，存在，使得成立，

所以，即，解得，

因為數列為遞增數列，且，

所以，從而，

又，所以，

從而，

又，

①當時，，從而，

此時與同號，

又，即，

②當時，由于趨向于正無窮大時，與趨向于相等，從而與趨向于相等，即存在正整數，使，從而，

此時與異號，與數列為遞增數列矛盾，

綜上，實數的取值范圍為．