Question

【題目】已知A，B，C是橢圓W： 上的三個點，O是坐標原點．
（1）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（2）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點（2，0）

∴直線AC是BO的垂直平分線，可得AC方程為x=1

設A（1，t），得 ，解之得t= （舍負）

∴A的坐標為（1， ），同理可得C的坐標為（1，﹣ ）

因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面積為S= |AC||B0|= ；

（2）解：∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，

設|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x2+y2=r2

與橢圓W: 的公共點，解之得 =r2﹣1

設A、C兩點橫坐標分別為x1、x2，可得A、C兩點的橫坐標滿足

x1=x2= ，或x1= 且x2=﹣ ，

①當x1=x2= 時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；

②若x1= 且x2=﹣ ，則x1+x2=0，

可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC

綜上所述，可得當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．

【解析】（1）根據B的坐標為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結合橢圓方程算出A、C兩點的坐標，從而得到線段AC的長等于 ．再結合OB的長為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時菱形OABC的面積；（2）若四邊形OABC為菱形，根據|OA|=|OC|與橢圓的方程聯解，算出A、C的橫坐標滿足 =r2﹣1，從而得到A、C的橫坐標相等或互為相反數．再分兩種情況加以討論，即可得到當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．