Question

（本題滿分14分）已知正項數列中，，點在拋物線上．數列中，點在經過點，以為方向向量的直線上．

（Ⅰ）求數列，的通項公式；

（Ⅱ）若，問是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）對任意的正整數，不等式成立，求正數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；；（Ⅱ）存在唯一的符合條件；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求數列，的通項公式，可將點代入拋物線，得，由此能求出；過點，以方向向量為的直線方程為，把點代入能求出；（Ⅱ）這是探索性命題，一般先假設存在，由，利用題設條件能推導出存在唯一的符合條件；（Ⅲ）由，知，設，得，利用構造法能求出正數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）將點代入拋物線得：

數列是等差數列．

，即

為直線的方向向量直線的斜率，直線的方程為

在直線上．

（Ⅱ）由題

①當是偶數時，是奇數，即，②當是奇數時，是偶數，即（舍去）

故存在唯一的符合條件．

（Ⅲ）由題

設，

則

，即數列是遞增數列．

考點：求數列通項公式，數列綜合問題，數列與不等式.