Question

13．在直角坐標系xOy中，直線l₁的方程為y=$\sqrt{3}$x，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosφ\\ y=\sqrt{3}sinφ\end{array}$（φ是參數，0≤φ≤π）．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）分別寫出直線l₁與曲線C的極坐標方程；
（2）若直線${l_2}：2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}$=0，直線l₁與曲線C的交點為A，直線l₁與l₂的交點為B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）根據tanθ=$\frac{y}{x}$可得直線l₁極坐標．利用x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得曲線C的極坐標方程．
（2）由題意，設A（ρ₁，θ₁），聯立方程組求解，同理，設利用直線的極坐標的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）直線l₁的方程為y=$\sqrt{3}$x，
可得：tanθ=$\frac{y}{x}$=$\sqrt{3}$，
∴直線l₁的極坐標方程為$θ=\frac{π}{3}$．
曲線C的普通方程為（x-1）²+y²=3，
又∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以曲線C的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0（0≤θ≤π）
（2）由題意，設A（ρ₁，θ₁），則有$\left\{\begin{array}{l}{ρ-2ρcosθ-2=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得：${ρ}_{1}=2，{θ}_{1}=\frac{π}{3}$
設B（ρ₂，θ₂），則有$\left\{\begin{array}{l}{2ρsin（θ+\frac{π}{3}）+3\sqrt{3}=0}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得：${ρ}_{2}=-3，{θ}_{2}=\frac{π}{3}$
故得|AB|=|ρ₁-ρ₂|=5．

點評 本題主要考查了參數方程，極坐標方程的轉換，以及利用極坐標的幾何意義求解長度問題．屬于基礎題．