Question

5．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ}\end{array}$（θ為參數，r＞0），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸，并取相同的長度單位建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求圓心的極坐標；
（2）若圓C上的點到直線l的最大距離為2$\sqrt{2}$，求r的值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²，從而圓心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），由此能求出圓心的極坐標．
（2）直線l的直角坐標方程為x+y=1．由此利用圓C上的點到直線l的最大距離為2$\sqrt{2}$，能求出r的值．

解答 解：（1）∵在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ}\end{array}$（θ為參數，r＞0），
∴（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²，
∴圓心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴${ρ}^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，tanθ=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-1，$θ=\frac{3π}{4}$，
∴圓心的極坐標為（1，$\frac{3π}{4}$）．
（2）∵直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=1，∴x+y=1．
∵圓C上的點到直線l的最大距離為2$\sqrt{2}$，
∴r+$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查圓心的極坐標的求法，考查圓的半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數方程、直角坐標方程、極坐標方程的互化和點到直線的距離公式的合理運用．