Question

19．在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩個頂點分別為A（-a，0），B（a，0），點M（-1，0），且3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，過點M斜率為k（k≠0）的直線交橢圓E于C，D兩點，其中點C在x軸上方．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）記直線AD，BC的斜率分別為k₁，k₂，求證：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，得a 即可；
（2）設點C的坐標為（x₀，y₀），y₀＞0，由BC⊥CD，得（-1-x₀）（ 2-x₀）+y₀²=0．解得x₀=-$\frac{2}{3}$，y₀=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即可．
（3），設C（x₀，y₀），則CD：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1）（-2＜x₀＜2且x₀≠-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y0}{x0+1}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+y2=1\end{array}$消去y，得x²+8y₀²x+4y₀²-4（x₀+1）²=0，得D（$\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}$，$\frac{-3{y}_{0}}{5+2{x}_{0}}$），可求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$

解答 解：（1）因為3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，所以3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．              …（2分）
又因為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$，所以b²=a²-c²=1，
所以橢圓E的方程為$\frac{x2}{4}$+y²=1．                        …（4分）
（2）設點C的坐標為（x₀，y₀），y₀＞0，
則$\overrightarrow{CM}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{CB}$=（2-x₀，-y₀）．
因為BC⊥CD，所以（-1-x₀）（ 2-x₀）+y₀²=0． ①…（6分）
又因為$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，②
聯立①②，解得x₀=-$\frac{2}{3}$，y₀=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…（8分）
所以k=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{2}{3}+1}$=2$\sqrt{2}$．                               …（10分）
（3），設C（x₀，y₀），則CD：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1）（-2＜x₀＜2且x₀≠-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y0}{x0+1}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+y2=1\end{array}$消去y，
得x²+8y₀²x+4y₀²-4（x₀+1）²=0．…（12分）
又因為$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，所以得D（$\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}$，$\frac{-3{y}_{0}}{5+2{x}_{0}}$），…（14分）
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{\frac{-3{y}_{0}}{5+2{y}_{0}}}{\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}}•\frac{{x}_{0}-2}{{y}_{0}}$=$\frac{-3{y}_{0}}{-{x}_{0}+2}•\frac{{x}_{0}-2}{{y}_{0}}$=3，
所以$\frac{k1}{k2}$為定值．                                …（16分）

點評 本題考查了直線橢圓的位置關系，對計算能力的要求較高，設而不求、方程的思想貫穿整個解題過程，屬于中檔題．