Question

（本題滿分15分）已知橢圓經過點，其離心率為，經過點，斜率為的直線與橢圓相交于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求的取值范圍；

（Ⅲ）設橢圓與軸正半軸、軸正半軸分別相交于兩點，則是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）沒有符合題意的常數．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓C的離心率為可得，，即橢圓的方程為；

又因為其圖像過點，將其坐標直接代入即可計算出參數，即可寫出橢圓的方程；（Ⅱ）首先寫

出直線的方程，然后聯立直線和橢圓方程并將直線的方程代入橢圓方程整理得

，由題意知，，即可解出的取值范圍；（Ⅲ）假設

存在常數，使得向量與共線，則設，則，

由（Ⅱ）知， 可用含的式子表示出來，然后根據假設可得等式關系，

即可解出的值，最后驗證的值是否滿足（Ⅱ）中解出的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）因為橢圓C的離心率，

，將點代入，得，

所求橢圓方程為．

（Ⅱ）由已知條件，直線的方程為，代入橢圓方程得．

整理得 ①

直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于，

解得或．即的取值范圍為.

（Ⅲ）設，則，

由方程①， ②

又 ③

而，．

所以與共線等價于，

將②③代入上式，解得．

由（1）知或，故沒有符合題意的常數．

考點：橢圓的綜合應用；向量的共線.