Question

5．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{4}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由向量的平方即為模的平方．可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$²，再由向量的夾角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，化簡即可得到所求值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|，
即有（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）²，
即為$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²，
化為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$²，
由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{4}$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{4}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，
化簡可得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=2．
故選：D．

點評 本題考查向量的數量積的夾角公式，以及向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎題．