Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上的最大值為4，最小值為1．
（1）求a，b的值；
（2）設 ，若關于x的方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．∵a＞0，所以f（x）在[2，3]上為增函數，

故 ，即

解得a=1，b=0．

（2）解：g（x）= =x+ ，∴g（|2x﹣1|）=|2x﹣1|+ ﹣2．

∵ ，∴ ，

即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0．

令|2x﹣1|=t，則方程可化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t＞0），

由方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三個不同的實數解，

結合t=|2x﹣1|的圖象（如右圖）可知，

方程t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個根t1，t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），則 或 ．

解得k＞0．

【解析】（1）根據f（x）的開口方向和對稱軸可知f（x）在[2，3]上是增函數，根據最值列出方程組解出a，b；（2）令|2x﹣1|=t，得到關于t的二次函數h（t），結合t=|2x﹣1|的函數圖象可判斷h（t）的零點分布情況，列出不等式組解出k的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．