Question

【題目】已知函數（， ）.

（1）若的圖象在點處的切線方程為，求在區間上的最大值和最小值；

（2）若在區間上不是單調函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最大值為8，最小值為（2）

【解析】試題分析：（1）先根據切線方程為x+y﹣3=0利用導數的幾何意義求出a值，再研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值與最小值；

（2）由題意得：函數f（x）在區間（﹣1，1）不單調，所以函數f′（x）在（﹣1，1）上存在零點．再利用函數的零點的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范圍．

試題解析：

(1)最大值為8，最小值為；(2) .

（1）∵在上，∴，

∵點在的圖象上，∴，

又，∴，

∴，解得，

∴， ，

由可知和是的極值點.

∵， ， ， ，

∴在區間上的最大值為8，最小值為

（2）因為函數在區間上不是單調函數，所以函數在上存在零點.

而的兩根為， ，

若， 都在上，則解集為空集，這種情況不存在；

若有一個根在區間上，則或，

∴