Question

【題目】設數列{an}的前項和為Sn ， 若點An（n， ）在函數f（x）=﹣x+c的圖像上運動，其中c是與x無關的常數且a1=3．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=tanan+1tanan ， tan195+tan3=atan2，求數列{bn}的前99項和（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點An（n， ）在函數f（x）=﹣x+c的圖像上運動，∴ =﹣n+c，∴Sn=﹣n2+cn，

∵c是與x無關的常數且a1=3．∴3=﹣1+c，解答c=4．

∴Sn=﹣n2+4n．

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2+4n﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=﹣2n+5，n=1時也成立

（2）解：∵tan（an+1﹣an）= ，∴bn=tanan+1tanan= ﹣1=﹣ ﹣1．

∴數列{bn}的前99項和T99=﹣ +（tana99﹣tana98）+…+（tana2﹣tana1）]﹣99

=﹣ ﹣99

=a﹣99

【解析】（1）由點An（n， ）在函數f（x）=﹣x+c的圖像上運動，可得 =﹣n+c，即Sn=﹣n2+cn，由于c是與x無關的常數且a1=3．代入可得c，再利用遞推關系即可得出．（II）由tan（an+1﹣an）= ，可得bn=tanan+1tanan=﹣ ﹣1．即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．