Question

（1）不等式2|x|+|x-1|＜2的解集是

（-

1

3

，1）

（2）在極坐標系中，過點（2

2

，

π

4

)作圓ρ=4sinθ的切線，則切線的極坐標方程為

ρcosθ=2

．

Answer 1

分析：（1）把要求的不等式化為①

x＜0 -3x+1＜2

，或 ②

0≤x＜1 x+1＜2

，或 ③

x≥1 3x-1＜2

，分別求出①②③的解集，取并集即得所求．
（2）求出切線經過的點的直角坐標，再求出圓的直角坐標方程，求出圓的切線方程，再化為極坐標方程．

解答：解：（1）由不等式2|x|+|x-1|＜2可得①

x＜0 -3x+1＜2

，或 ②

0≤x＜1 x+1＜2

，或 ③

x≥1 3x-1＜2

．
解①得-

1

3

＜x＜0，解②得0≤x＜1，解③得 x∈∅．
故不等式的解集為（-

1

3

，1），
故答案為 （-

1

3

，1）．
（2）點（2

2

，

π

4

)的直角坐標為（2，2），圓ρ=4sinθ 即 ρ²=4ρsinθ，化簡可得 x²+（y-2）²=4，表示以（0，2）為圓心、以2為半徑的圓．
由題意可得，圓的切線斜率不存在，故切線方程為 x=2，化為極坐標方程為ρcosθ=2，
故答案為 ρcosθ=2．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，極坐標方程與直角坐標方程的互化，求圓的切線方程，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．