Question

若定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，若f（4）=5，則不等式f（3m-2）＜3的解集為

（-∞，

4

3

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意證出f（0）=1，進(jìn)而證出F（x）=f（x）-1為奇函數(shù)．利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合題中的條件證出  F（x）=f（x）-1是R上的增函數(shù)，因此y=f（x）也是R上的增函數(shù)．由f（4）=5代入題中等式算出f（2）=3，將原不等式轉(zhuǎn)化為f（3m-2）＜f（2），利用單調(diào)性即可求出原不等式的解集．

解答：解：由題意，可得
令x₁=x₂=0，則f（0+0）=f（0）+f（0）-1，可得f（0）=1，
令x₁=-x，x₂=x，則f[（-x）+x]=f（-x）+f（x）-1=1，
∴化簡(jiǎn)得：[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴記F（x）=f（x）-1，可得F（-x）=-F（x），即F（x）為奇函數(shù)．
任取x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，則x₁-x₂＞0，
F（x₁）-F（x₂）=F（x₁）+F（-x₂）=[f（x₁）-1]+[f（-x₂）-1]
=[f（x₁）+f（-x₂）-2]=[f（x₁-x₂）-1]=F（x₁-x₂）
∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞1，可得x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）-1＞0，
∴由x₁-x₂＞0，得F（x₁-x₂）＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）=f（x）-1是R上的增函數(shù)，因此函數(shù)y=f（x）也是R上的增函數(shù)．
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，可得f（2）=3．
因此，不等式f（3m-2）＜3化為f（3m-2）＜f（2），
可得3m-2＜2，解之得m＜

4

3

，即原不等式的解集為（-∞，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)滿足的條件，求解關(guān)于m的不等式．著重考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用、不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．