Question

13．已知函數f（x）=x³+ax²+bx，（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點處相切，此切線與函數圖象所圍區域（圖中陰影部分）的面積為3，則a的值為$-\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 題目中給出了函數圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積，所以我們可以從定積分著手，求出函數以及函數與x軸的交點，建立等式求解參數．

解答 解：由已知對方程求導，得：f′（x）=3x²+2ax+b．
由題意直線y=0在原點處與函數圖象相切，故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以繼續化簡為：f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到圖象與x軸交點為（0，0），（-a，0），由圖得知a＜0．
故對-f（x）從0到-a求定積分即為所求面積，即：
-∫₀^-af（x）dx=3，
將 f（x）=x³+ax²代入得：
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=3，
求解，得a=-$\sqrt{6}$．
故答案為：-$\sqrt{6}$．

點評 將函數圖象，函數的導數，以及定積分的計算有機結合起來，考查了學生的綜合能力