Question

3．已知函數f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中 a＜0．
（1）若函數f（x）是（l，ln 5）上的單調函數，求a的取值范圍；
（2）若存在區間M，使f（x）和g（x）在區間M上具有相同的單調性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，由導函數在區間（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0，利用分離參數法求得a的取值范圍；
（2）求出函數f（x）的單調區間，求導可知，a＜0時g（x）在定義域內為減函數，再由f（x）的減區間非空求得a的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
∵函數f（x）是（l，ln 5）上的單調函數，
∴f′（x）=e^x+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0．
由f′（x）=e^x+a≥0，得a≥-e^x，
∵當x∈（l，ln 5）時，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈[-e，0）；
由f′（x）=e^x+a≤0，得a≤-e^x，
∵當x∈（l，ln 5）時，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈（-∞，-5]．
綜上，a的取值范圍是（-∞，-5]∪[-e，0）；
（2）f′（x）=e^x+a，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln-a，
當x∈（-∞，ln（-a））時，f′（x）＜0，當x∈（ln（-a），+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）的減區間為（-∞，ln（-a）），增區間為（ln（-a），+∞）；
g′（x）=a-$\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
∵a＜0，∴g′（x）＜0，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減．
若存在區間M，使f（x）和g（x）在區間M上具有相同的單調性，
則ln（-a）＞0，即-a＞1，得a＜-1．
∴a的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查導函數的符號與原函數單調性間的關系，是中檔題．