Question

（1）若

sinα+cosα

sinα-cosα

=3，tan（α-β）=2，求tan（β-2α）的值；
（2）已知sin（3π+θ）=

1

3

，求

cos(π+θ)

cosθ[cos(π-θ)-1]

+

cos(θ-2π)

sin(θ- 3π 2 )cos(θ-π)-sin( 3π 2 +θ)

．

Answer 1

分析：（1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得 tanα=2，由tan（α-β）=2 可得tan（β-α）=-2，再利用兩角和差的正切公式求得tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]的值．
（2）由sin（3π+θ）=

1

3

=-sinθ，求得sinθ=-

1

3

，再利用誘導公式求得所求式子的值．

解答：解：（1）若

sinα+cosα

sinα-cosα

=3，則有

tanα+1

tanα-1

=3，解得 tanα=2．
又tan（α-β）=2，∴tan（β-α）=-2，
∴tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]=

tan(β-α)-tanα

1+tan(β-α)tanα

=

-2-2

1+(-2)×2

=

4

3

．
（2）∵已知sin（3π+θ）=

1

3

=-sinθ，∴sinθ=-

1

3

．
∴

cos(π+θ)

cosθ[cos(π-θ)-1]

+

cos(θ-2π)

sin(θ- 3π 2 )cos(θ-π)-sin( 3π 2 +θ)

=

-cosθ

cosθ•(-cosθ-1)

+

cosθ

-sin( 3π 2 -θ)cos(π-θ)+cosθ

=

1

1+cosθ

+

cosθ

-cos2θ+cosθ

=

1

1+cosθ

+

1

1-cosθ

=

2

1-cos2θ

=

2

sin2θ

=18．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，誘導公式、以及兩角和差的正切公式的應用，屬于中檔題．