Question

（2012•上饒一模）在△ABC中，A，B，C所對的邊是a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（2）若a=2，當sinA+sinB取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）由tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．得sin（C-A）=sin（B-C），故C-A=B-C，C=

π

3

，由sin（B-A）=cosC，求得sin(

2π

3

-2A)=

1

2

，A=

π

4

．
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=

3

sin(A+

π

6

)，故當A=

π

3

時，ymax=

3

，可得△ABC為等邊三角形，從而求得它的面積．

解答：解：（I）由tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．得sin（C-A）=sin（B-C），∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不合題意，舍去），∴C=

π

3

．…（4分）
由sin（B-A）=cosC，得sin(

2π

3

-2A)=

1

2

，
∴A=

π

4

．…（6分）
（Ⅱ）令y=sinA+sinB=sinA+sin(

2π

3

-A)=

3

sin(A+

π

6

)，
∴當A=

π

3

時，ymax=

3

．…（9分）
∴△ABC為等邊三角形，…（10分）
∴S△ABC=

3

4

•a2=

3

．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角形中的幾何計算，屬于中檔題．