Question

（2012•上饒一模）關于x的方程：（x²-1）²-|x²-1|+k=0，給出下列四個命題，其中真命題的個數有（　　）
（1）存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根
（2）存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根
（3）存在實數k，使得方程恰有5個不同的實根
（4）存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：將方程根的問題轉化成函數圖象的問題，畫出函數圖象，結合圖象可得結論．

解答：解：關于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
當k=-2時，方程（1）的解為±

3

，方程（2）無解，原方程恰有2個不同的實根
當k=

1

4

時，方程（1）有兩個不同的實根±

6

2

，方程（2）有兩個不同的實根±

2

2

，
即原方程恰有4個不同的實根
當k=0時，方程（1）的解為-1，+1，±

2

，方程（2）的解為x=0，原方程恰有5個不同的實根
當k=

2

9

時，方程（1）的解為±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解為±

3

3

，±

6

3

，
即原方程恰有8個不同的實根
∴四個命題都是真命題
故選D．

點評：本題主要考查了分段函數，以及函數與方程的思想，數形結合的思想，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．