Question

（2013•紅橋區二模）已知等比數列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}，b₁=q，b_n=3a_n-1+rb_n-1（n≥2，n∈N^*）（r為常數，且qr≠0，r≠3）．
①寫出b₂，b₃，b₄；
②試推測出b_n用q，r，n表示的公式，并用數學歸納法證明你推測的結論．

Answer 1

分析：（1）根據3a₂、2a₃、a₄成等差數列，建立方程，求出公比，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）①利用數列遞推式，代入計算，可求b₂，b₃，b₄；
②猜出通項，結合數列遞推式，利用數學歸納法進行證明．

解答：解：（1）∵3a₂、2a₃、a₄成等差數列，
∴4a₃=3a₂+a₄，∴4a1q2=a1q3+3a1q
∵q≠0，a₁=3，
∴q²-4q+3=0
∵q≠1，∴q=3
∵a₁=3，∴an=3×3n-1=3ⁿ；
（2）①∵b₁=q，∴b₂=3a₁+rb₁=3（3+r）；b₃=3a₂+rb₂=3（3²+3r+r²）；
b₄=3a₃+rb₃=3（3³+3²r+3r²+r³）；
②b_n=3（3^n-1+3^n-2r+…+3r^n-2+r^n-1），
∵r≠3，∴b_n=

3(3n-rn)

3-r

用數學歸納法證明如下．
①n=2時，b2=

3(32-r2)

3-r

=3（3+r），結論成立；
②假設n=k時，結論成立，即b_k=

3(3k-rk)

3-r

∴n=k+1時，b_k+1=3a_k+rb_k=3•3k+

3r(3k-rk)

3-r

=

3(3k+1-rk+1)

3-r

即n=k+1時，結論成立
由①②可知結論成立．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．