Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）若對于任意的（為自然對數的底數），恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）當時， 的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間是；（II）

【解析】

（Ⅰ）求出，分兩種情況討論，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）對分四種情況討論，分別利用導數求出函數最小值的表達式，令最小值不小于零，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（Ⅰ）的定義域為.

.

（1）當時，恒成立，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

（2）當時，由解得，由解得.

∴的單調遞增區間為和，單調遞減區間是.

（Ⅱ）①當時，恒成立，在上單調遞增，

∴恒成立，符合題意.

②當時，由（Ⅰ）知，在、上單調遞增，在上單調遞減.

（i）若，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴對任意的實數，恒成立，只需，且.

而當時，

且成立.

∴符合題意.

（ii）若時，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴對任意的實數，恒成立，只需即可，

此時成立，

∴符合題意.

（iii）若，在上單調遞增.

∴對任意的實數，恒成立，只需，

即，

∴符合題意.

綜上所述，實數的取值范圍是.