Question

12．已知函數f（x）=Asin（ωx+φ） （x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$） 的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式．
（2）求函數g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的單調遞增區間．
（3）若方程g（x）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍，并寫出所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{5π}{12}$時取得最大值2，求出φ，即可．
（2）利用三角函數恒等變換的應用可求函數解析式g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得單調遞增區間．
（3）由題意2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有兩個不相等的實數根，結合x范圍可求2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，由正弦函數的圖象和性質即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）解：由題意可知A=2，T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，則ω=2，
∵f（$\frac{5π}{12}$）=0，
∴0=2sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ），
∴φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
函數f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]
=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：k$π-\frac{π}{12}$≤x≤k$π+\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴單調遞增區間為：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（3）∵g（x）=m，可得：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m，
∴由題意2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=m在（$\frac{π}{4}$，π]上有兩個不相等的實數根，
∵x∈（$\frac{π}{4}$，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴由正弦函數的圖象和性質可得：m∈（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪（$\frac{1}{2}$，1），所有根之和為 $\frac{5π}{6}$或$\frac{11π}{6}$．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，注意函數的周期的求法，考查正弦函數的圖象和性質的應用，考查了計算能力，屬于中檔題．