Question

已知函數，其中且.

（1）討論的單調性；

(2) 若不等式恒成立，求實數取值范圍；

（3）若方程存在兩個異號實根，，求證：

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷導數的單調性、利用導數求函數的單調性、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先求函數的定義域，對求導，由于，所以討論a的正負，利用的正負，判斷函數的單調性；第二問，結合第一問的結論，當時舉一反例證明不恒成立，當時，將恒成立轉化為恒成立，令，利用導數求的最小值；第三問，要證，需證，令，利用函數的單調性，解出的大小.

(１)的定義域為.

其導數 2分

①當時,,函數在上是增函數;

②當時,在區間上,;在區間(0,+∞)上,．

所以,在是增函數,在(0,+∞)是減函數. 4分

(２)當時, 則取適當的數能使，比如取，

能使, 所以不合題意 6分

當時，令,則

問題化為求恒成立時的取值范圍.

由于

在區間上,;在區間上,. 8分

的最小值為,所以只需

即,, 10分

(３)由于存在兩個異號根，不仿設，因為,所以 11分

構造函數:()

所以函數在區間上為減函數. ,則,

于是,又,,由在上為減函數可知.即 14分

考點：導數的運算、利用導數判斷導數的單調性、利用導數求函數的單調性、利用導數求函數的最值.