Question

1．若函數f（x）是定義域D內的某個區間I上的增函數，且h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上是減函數，則稱y=f（x）是I上的“單反減函數”，已知f（x）=e^x+x，g（x）=x+lnx+$\frac{2}{x}$．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上是否是“單反減函數”，并說明理由；
（2）若g（x）是[$\frac{a}{4}$，+∞）上的“單反減函數”，求實數a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數f（x）的導數f′（x），判斷f（x）在區間（0，+∞）的單調性，再令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用導數判斷h（x）在區間（0，+∞）的單調性，即可得出結論；
（2）利用導數判斷g（x）在[0，+∞）的單調性，再h（x）=$\frac{g（x）}{x}$，利用導數判斷h（x）＜0在（0，+∞）上的單調性，得出g（x）是[1，+∞）上的“單反函數”，從而求出實數a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
設h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$+1，
∴h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$（x≥0）在區間（0，+∞）上不恒成立，
∴h（x）在區間（0，+∞）上不一定是增函數，
∴函數f（x）不是區間（0，+∞）上的“單反減函數”；
（2）∵g（x）=x+lnx+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當x≥1時，g′（x）≥0，
g（x）在[0，+∞）單調遞增，
又h（x）=$\frac{g（x）}{x}$=1+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{4x}{{x}^{3}}$=$\frac{x-xlnx-4}{{x}^{3}}$，
令m（x）=x-xlnx-4，
m′（x）=1-1-lnx-lnx=-lnx，
當x∈（0，1）時，m′（x）＞0，m（x）是單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）單調遞減，
∴m（x）≤m（1）=-3，即m（x）＜0，
∴h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴g（x）是[1，+∞）上的“單反函數”，
又∵g（x）是[$\frac{a}{4}$，+∞）上的“單反函數”，
∴$\frac{a}{4}$≥1，即a≥4，
所以實數a的取值范圍是[4，+∞）．

點評 本題考查了利用導數判斷函數在某一區間上的單調性問題，也考查了新定義的應用問題，是綜合性題目．