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14.已知曲線$y=\frac{1}{x}$.
(1)求滿足斜率為$-\frac{1}{3}$的曲線的切線方程;
(2)求曲線過點P(1,0)的切線方程.

分析 (1)求導數,利用斜率為$-\frac{1}{3}$,求出切點坐標,即可求滿足斜率為$-\frac{1}{3}$的曲線的切線方程;
(2)設過該點的切線切點為$B(b,\frac{1}{b})$,求導數,即可求曲線過點P(1,0)的切線方程.

解答 解:(1)設切點為$A(a,\frac{1}{a})$,
則切線斜率為$k=y'{|_{c=a}}=-\frac{1}{a^2}$,…(1分)
所以$-\frac{1}{a^2}=-\frac{1}{3}$,解得$a=±\sqrt{3}$,…(2分)
所以,切點坐標為$(\sqrt{3},\frac{{\sqrt{3}}}{3})$或$(-\sqrt{3},-\frac{{\sqrt{3}}}{3})$,…(3分)
于是,切線方程為$y-\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}(x-\sqrt{3})$或$y+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{1}{3}(x+\sqrt{3})$,
整理得,$x+3y-2\sqrt{3}=0$或$x+3y+2\sqrt{3}=0$.…(5分)
(2)顯然點P(1,0)不在曲線$y=\frac{1}{x}$上,…(6分)
則可設過該點的切線切點為$B(b,\frac{1}{b})$,
而斜率$k=y'{|_{k=b}}=-\frac{1}{b^2}$,…(7分)
于是,切線方程為$y-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}(x-b)$,①…(8分)
將P(1,0)坐標代入方程①得$-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}(1-b)$,解得$b=\frac{1}{2}$,…(9分)
把$b=\frac{1}{2}$代入方程①,并整理得切線方程為4x+y-4=0.…(10分)

點評 本題考查導數幾何意義的運用,考查學生的計算能力,正確求導是關鍵.

練習冊系列答案
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