Question

已知數列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，如果數列{b_n}：b₁，b₂，b₃，…，b_n滿足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…n，則稱{b_n}為{a_n}的“衍生數列”．若數列{a_n}：a₁，a₂，a₃，a₄，的“衍生數列”是5，-2，7，2，則{a_n}為

 

；若n為偶數，且{a_n}的“衍生數列”是{b_n}，則{b_n}的“衍生數列”是

 

．

Answer 1

考點：數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，由此能求出{a_n}為2，1，4，5；由已知猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，再用數學歸納法進行證明，從而得到{b_n}的“衍生數列”是{a_n}．

解答： 解：由已知得

b1=a4=5 b2=a1+a2-5=-2 b3=a2+a3+2=7 b4=a3+5-7=2

，
解得a₁=2，a₂=1，a₃=4，a₄=5，
∴{a_n}為2，1，4，5．
由已知，b₁=a₁-（a₁-a_n），
b₂=a₁+a₂-b₁=a₂+（a₁-a_n），
因此猜想b_i=ai+(-1)i(a1-an)，
①當n=1時，b₁=a₁-（a₁-a_n），猜想成立；
②假設n=k（k∈N^*）時，bk=ak+(-1)k(a1-an)，
當i=k+1時，b_k+1=a_k+a_k+1-b_k，
=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
=ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
=an+1+(-1)k+1(a1-an)，
∴i=k+1時，猜想成立，
由①②知，對于任意正整數i，有bi=ai+(-1)i(a1-an)．
∴{b_n}的“衍生數列”是{a_n}．
故答案為：2，1，4，5；{a_n}．

點評：本題考查衍生數列的求法和應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意合理猜想和數學歸納法的合理運用．