Question

3．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2的正方形，若在側棱AA₁上至少存在一點E，使得∠C₁EB=90°，則側棱AA₁的長的最小值（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 設側棱AA₁的長為x，A₁E=t，則AE=x-t，由已知得t²-xt+4=0，由此利用根的判別式能求出側棱AA₁的長的最小值．

解答 解：設側棱AA₁的長為x，A₁E=t，則AE=x-t，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為2的正方形，
∠C₁EB=90°，
∴$C{E}^{2}+B{E}^{2}=B{{C}_{1}}^{2}$，
∴8+t²+4+（x-t）²=4+x²，
整理，得：t²-xt+4=0，
∵在側棱AA₁上至少存在一點E，使得∠C₁EB=90°，
∴△=（-x）²-16≥0，
解得x≥4．或x≤-4（舍）．
∴側棱AA₁的長的最小值為4．
故選：B．

點評 本題考查長方體的側棱長的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意根的判別式的合理運用．