Question

正方形ABCD，E為正方形對角線交點，將正方形ABCD沿對角線BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，有如下四個結論：
①AB∥CD；②AC⊥BD；③△ACD是等邊三角形；④平面AEC⊥平面BCD．其中正確的結論是    ．

Answer 1

【答案】分析：由異面直線的判定定理，可判斷AB與CD異面，進而得到①的真假；取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據線面垂直的判定及性質可判斷②的真假；求出AC長后，可以判斷③的真假；由AE垂直BD，結合面面垂直的性質可得AE⊥平面BCD，進而可由面面垂直的判定定理，判斷④的真假．
解答：解：由已知可得AB∩平面BCD=B，B∉CD
故AB與CD異面，故①錯誤
取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．
∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故②正確．?
設正方形邊長為a，則AD=DC=a，AE=a=EC．
∴AC=a．?
∴△ACD為等邊三角形，故③正確
∵AB=AD，E為BD中點，
∴AE⊥BD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?平面ABD
故AE⊥平面BCD，
又∵AE?平面AEC
∴平面AEC⊥平面BCD，故④正確；
故答案為：②③④
點評：本題考查的知識點是線面垂直的判定與性質，空間兩點距離，線面夾角，異面直線，其中根據已知條件將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，結合立體幾何求出相關直線與直線、直線與平面的夾角，及線段的長是關鍵．