Question

如圖，將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，連接A′C得到三棱錐A′-BCD，A′F 垂直BD于F，E為BC的中點．
（1）求證：EF∥平面A′CD
（2）設正方形ABCD邊長為a，求折后所得三棱錐A′-BCD的側面積．

Answer 1

分析：（1）根據題意，F為BD的中點．又E為BC的中點，可得EF∥CD．再根據直線和平面平行的判定定理證得EF∥平面A′CD．
（2）連接CFCF，根據AA′F⊥平面BCD，可得∠A′FC=90°，△A′BC和△A′DC都為邊長為a的等邊三角形，再根據S_側=S_A′BD+S_A′BC+S_A′CD，運算求得結果

解答：解： （1）證明：根據題意，有平面A′BD⊥平面BCD，由于A′F⊥BD于F，A′D=A′B，∴F為BD的中點．
又∵E為BC的中點，∴EF∥CD．
再根據CD?平面A′CD，而EF不在平面A′CD 內，
∴EF∥平面A′CD．
（2）連接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，
∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC=90°．
∴A′C²=A′F²+FC²=（

2

2

a）²+（

2

2

a）²=a²．
∴△A′BC和△A′DC都為邊長為a的等邊三角形．
∴S_側=S_A′BD+S_A′BC+S_A′CD=

1

2

•

2

a•

2

2

a+

3

4

a²+

3

4

a² =

1+ 3

2

a²．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，求棱錐的表面積，屬于中檔題．