Question

11．已知幾何體A-BCED[如圖（1）]的三視圖如圖（2）所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，已知幾何體A-BCED的體積為16．

（1）求實數a的值；
（2）將直角三角形ABD繞斜邊AD所在直線旋轉一周，求該旋轉體的表面積．

Answer 1

分析 （1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用幾何體A-BCED的體積為16，求實數a的值；
（2）過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求出圓錐底面周長，兩個圓錐的母線長，即可求該旋轉體的表面積．

解答 解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，
體積V=$\frac{1}{3}•4•\frac{（a+4）×4}{2}$=16，
解得a=2；
（2）在RT△ABD中，AB=4$\sqrt{2}$，BD=2，AD=6，
過B作AD的垂線BH，垂足為H，得BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
該旋轉體由兩個同底的圓錐構成，圓錐底面半徑為BH=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
所以圓錐底面周長為C=2π•B$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$，兩個圓錐的母線長分別為4$\sqrt{2}$，2，
故該旋轉體的表面積為$S=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{2}π}{3}×（2+4\sqrt{2}）$=$\frac{（32+8\sqrt{2}）π}{3}$．

點評 本題考查了圓錐的側面積公式、積體公式和解三角形等知識，屬于中檔題．