Question

13．設函數f（x）=|x-a|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≥4-|x-1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=a（m＞0，n＞0），求：m+2n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，不等式即|x-2|+|x-1|≥4，再利用絕對值的意義，求得它的解集．
（2）不等式即即|x-a|≤1，即a-1≤x≤a+1，再根據f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a-1=0，a+1=2，由此求得a的值，從而求出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=1，根據乘“1”法，求出m+2n的范圍即可．

解答 解：（1）當a=2時，函數f（x）=|x-2|，由不等式f（x）≥4-|x-1|，
可得|x-2|+|x-1|≥4．
由于|x-2|+|x-1|表示數軸上的x對應點到2、1對應點的距離之和，
而-0.5和3.5對應點到2、1對應點的距離之和正好等于4，
故不等式f（x）≥4-|x-1|的解集為{x|x≤-0.5或 x≥3.5}．
（2）f（x）≤1，即|x-a|≤1，即-1≤x-a≤1，即a-1≤x≤a+1，
再根據f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a-1=0，a+1=2，求得 a=1；
故$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$=1，
故m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{2n}$）=2+$\frac{m}{2n}$+$\frac{2n}{m}$≥2+2$\sqrt{\frac{m}{2n}•\frac{2n}{m}}$=4．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法以及基本不等式的性質，體現了等價轉化的數學思想，是一道中檔題．