Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：求函數的導數，根據導數的幾何意義求出切線方程，利用對數的運算性質即可得到結論．

解答： 解：∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）xⁿ，
令y=0，解得令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，
在點（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設y=0，x_n=

n

n+1

，
則log₂₀₁₀x₁+log₂₀₁₀x₂+…+log₂₀₁₀x₂₀₀₉=log₂₀₁₀x₁x₂…x₂₀₀₉=log₂₀₁₀（

1

2

×

2

3

×…×

2009

2010

）=log₂₀₁₀

1

2010

=-1，
故答案為：-1

點評：本題主要考查函數值的計算，根據導數幾何意義以及數列和對數的運算性質是解決本題的關鍵．綜合性較強．