Question

17．已知平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ+2\\ y=rsinθ+2\end{array}$（θ為參數，r＞0）．以直角坐標系原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為$\sqrt{2}$ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=0．
（1）求圓C的圓心的極坐標；
（2）當圓C與直線l有公共點時，求r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）消去參數，得圓C的普通方程，即可求圓C的圓心的極坐標；
（2）當圓C與直線l有公共點時，圓心（2，2）到直線l的距離為$d=\frac{|2+2+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$≤r，即可求r的取值范圍．

解答 解：（1）由$C：\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ+2\\ y=rsinθ+2\end{array}\right.$得（x-2）²+（y-2）²=r²，
∴曲線C是以（2，2）為圓心，r為半徑的圓，
∴圓心的極坐標為$（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$…（5分）
（2）由$l：\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）+1=0$得l：x+y+1=0，
從而圓心（2，2）到直線l的距離為$d=\frac{|2+2+1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
∵圓C與直線l有公共點，∴d≤r，即$r≥\frac{5}{2}\sqrt{2}$…（10分）

點評 本題考查圓的參數方程，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．