Question

f（x）是定義域為R的增函數，且值域為R₊，則下列函數中為減函數的是（　　）

• A．f（x）+f（-x）
• B．f（x）-f（-x）
• C．f（x）?f（-x）
• D．

  f(-x)

  f(x)

Answer 1

分析：由已知可得，x₁＜x₂時，0＜f（x₁）＜f（x₂），f（-x₁）＞f（-x₂）＞0，然后分別判斷
f（x₁）+f（-x₁）與f（x₂）+f（-x₂）的大小關系
f（x₁）-f（-x₁）與f（x₂）-f（-x₂）的大小關系
f（x₁）•f（-x₁）與f（x₂）•f（-x₂）的大小關系

f(-x1)

f(x1)

與

f(-x2)

f(x2)

的大小關系即可判斷各函數的單調性

解答：解：∵f（x）是定義域為R的增函數，且f（x）＞0
∴x₁＜x₂時，0＜f（x₁）＜f（x₂），
∴-x₁＞-x₂，f（-x₁）＞f（-x₂）＞0
A：令F（x）=f（x）+f（-x），則F（x₁）=f（x₁）+f（-x₁）與F（x₂）=f（x₂）+f（-x₂）的大小關系不定，即函數F（x）不單調
B：令G（x）=f（x）-f（-x），則G（x₁）=f（x₁）-f（-x₁）與G（x₂）=f（x₂）-f（-x₂）
則G（x₁）＜G（x₂）即函數G（x）單調遞增
C：令H（x）=f（x）f（-x），則H（x₁）=f（x₁）•f（-x₁），H（x₂）=f（x₂）•f（-x₂）的大小關系不定，即函數F（x）不單調
D：令I（x）=

f(-x)

f(x)

，則由0＜f（x₁）＜f（x₂），f（-x₁）＞f（-x₂）＞0可得

f(-x1)

f(x1)

＞

f(-x2)

f(x2)

即I（x₁）＞I（x₂）
則函數單調遞減
故選D

點評：本題主要考查了函數的單調性的定義在函數的單調性的判斷中的應用，還考查了不等式的性質的簡單應用