Question

若函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，且對于任意x∈R，有f（x+3）=-f（x），若f（1）=1，tanα=2，則f（2005sinαcosα）的值為

 

．

Answer 1

分析：把所求式子中的自變量的分母“1”看作sin²α+cos²α，然后分子分母都除以cos²α，化為關于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值，然后由已知的f（x+3）=-f（x）和函數為奇函數求出f（x）的周期為6，且令x=1，代入已知的f（x+3）=-f（x），f（1）=1求出f（4）的值，把所求式子的值除以6得到余數為4，得到所求式子與f（4）相等，進而求出所求式子的值．

解答：解：因為tanα=2，
則2005sinαcosα=

2005sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2005tanα

tan2α+1

=802，
∵f（x+3）=-f（x），又函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（x+6）=f（x），且f（4）=-f（1）=-1，
則f（2005sinαcosα）=f（802）=f（6×133+4）=f（4）=-1．
故答案為：-1

點評：此題綜合考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，函數的周期性及奇函數的性質．找出f（x）的周期及把所求式子化簡是解本題的關鍵．