Question

若函數y=f（x）是函數y=a^x（0＜a≠1）的反函數，其圖象過點(

a

，a)，且函數y=-f(x+

m

x

-3)在區間（2，+∞）上是增函數，則正數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由條件求得f（x）=log

1

2

x，結合題意可得函數t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在區間（2，+∞）上是減函數．再根據x+

m

x

-3在區間（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函數，可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，由此解得m的范圍．

解答：解：由題意可得函數y=f（x）=log_ax，再根據其圖象過點(

a

，a)，
可得loga

a

=a，即a=

1

2

，∴f（x）=log

1

2

x．
∵函數y=-f(x+

m

x

-3)在區間（2，+∞）上是增函數，且-f（x+

m

x

-3）=-log

1

2

(x+

m

x

-3)，
∴函數t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在區間（2，+∞）上是減函數，故x+

m

x

-3在區間（2，+∞）上是增函數．
再根據x+

m

x

-3在區間（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函數，
可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，解得2≤m≤4，
故答案為[2，4]．

點評：本題主要考查求反函數，函數的單調性的性質，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．