Question

已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，其圖象均在x軸的上方，對任意的m、n∈[0，+∞），都有f（m•n）=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4，又當x≥0時，其導函數f′（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）求F（0）、f（-1）的值；
（Ⅱ）解關于x的不等式：[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2，其中k∈（-1，1）．

Answer 1

分析：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ，恒成立，令m=n=0，結合我們易得函數y=f（x）的圖象均在x軸的上方，故f（0）＞0易得f（0）的值，令m=1，n=2，結合f（2）=4，易得f（1）的值，結合函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，可得到f（-1）的值；
（2）由y=f（x）在區間[0，+∞）上為單調遞增函數，又由函數為偶函數，故函數在（-∞，0]為單調遞減函數，故[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2可轉化為（k²-1）x²+4kx≥0對k值進行分類討論后，易得結論．

解答：解：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ得：f（0）=f（0×0）=[f（0）]⁰
∵函數f（x）的圖象均在x軸的上方，
∴f（0）＞0，∴f（0）=1（3分）
∵f（2）=f（1×2）=[f（1）]²=4，又f（x）＞0
∴f（1）=2，f（-1）=f（1）=2（3分）
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2?f(

kx+2

2 x2+4

•2)≥2?f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)?f(

|kx+2|

x2+4

)≥f(1)
又當x≥0時，其導函數f'（x）＞0恒成立，
∴y=f（x）在區間[0，+∞）上為單調遞增函數
∴

|kx+2|

x2+4

≥1?|kx+2|≥

x2+4

?(k2-1)x2+4kx≥0
①當k=0時，x∈{0}；
②當-1＜k＜0時，x(x-

4k

1-k2

)≤0?

4k

1-k2

≤x≤0，
∴x∈[

4k

1-k2

，0]；
③當0＜k＜1時，x(x-

4k

1-k2

)≤0?0≤x≤

4k

1-k2

，
∴x∈[0，

4k

1-k2

]
綜上所述：當k=0時，x∈{0}；當-1＜k＜0時，x∈[

4k

1-k2

，0]；
當0＜k＜1時，x∈[0，

4k

1-k2

]．

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，利用導數研究函數的單調性，利用“湊”的方法處理抽象函數問題求值是解答本題的關鍵．