Question

16．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AD=4，A A₁=2$\sqrt{2}$，M是C₁D₁的中點．
（1）在平面A₁B₁C₁D₁內，請作出過點M與BM垂直的直線l，并證明l⊥BM；
（2）設（1）中所作直線l與BM確定平面為α，求直線BB₁與平面α所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接A₁M，M B₁，則直線A₁M就是所求的l，證明A₁M⊥平面B₁BM，即可證明l⊥BM；
（2）設N為BM的中點，連接B₁N，則B₁N⊥MB，B₁N⊥平面A₁BM，即B₁N⊥平面α，∠NBB₁就是BB₁與平面α所成角，即可求直線BB₁與平面α所成角的大小．

解答 解：（1）連接A₁M，M B₁，則直線A₁M就是所求的l，
證明如下：
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
A₁M?平面A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁M．
在矩形A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2 A₁D₁=4，M是C₁D₁的中點．
∴△A₁D₁M和△B₁C₁M都是等腰直角三角形，
∴∠A₁MD₁=∠B₁MC₁=45°，故∠A₁MB₁=90°，
即A₁M⊥MB₁，又BB₁∩MB₁=B₁，A₁M⊥平面B₁BM，
∴A₁M⊥MB，即l⊥B₁M…（6分）
（2）連接A₁B，由（1）A₁M⊥平面B₁BM，A₁M?平面A₁MB，
∴平面A₁BM⊥平面B₁BM，平面A₁BM∩平面B₁BM=BM，
在Rt△B₁BM中，B₁M=BB₁=2$\sqrt{2}$，設N為BM的中點，連接B₁N，則B₁N⊥MB，
∴B₁N⊥平面A₁BM，即B₁N⊥平面α，
∴∠NBB₁就是BB₁與平面α所成角，
因為Rt△B₁BM是等腰直角三角形，所以∠NBB₁=45°．
因此，BB₁與平面α所成角的大小為45°…（12分）

點評 本題考查線線、線面位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．